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zhuhai0905

 
 
 

日志

 
 

2014年10月12日  

2014-10-12 19:45:20|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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                                                               浅谈化归法在中学数学中的应用

 

 

摘 要:所谓化归,就是将一个生疏的、复杂的问题转化为熟知的、简单的问题来解决。在中学数学中,化归法的应用无处不在。因此,注重化归思想的培养对学生学习数学知识,发展数学解题能力以及对教师提升自身的教学水平都是至关重要的。本文介绍了划归思想以及在应用化归法中应遵循的几个原则。

关键词:化归法;化归思想;化归原则;中学数学

 

1  引入

在《孙子算经》有这样一个有趣的问题——鸡兔同笼,它是这样叙述的:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数有35头,从下面数,有94只脚,求笼中有鸡、兔各几只?这个问题虽然可以通过方程解决,但比较复杂。这里给出的是一种较为简单的解答思路:

假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”,这样就有:

(1)鸡和兔的脚的的总数就由94变成了47;

(2)如果笼子里有一只兔子,则脚的总数总比头数多1,因此用脚的总只数47减去头的总头数35,就是兔子的只数,即47-35=12(只),显然鸡的只数就是35-12=23(只)。

这一思路新颖而独特,其“砍足法”令中外数学家称赞不已,而这种数学思维方法就是我所要说的化归法。

新课程标准下更加注重培养学生的数学思想,而数学思想离不开方法的支持。中学数学思想方法有很多,在这里我结合新课程标准的内容以及实际情况浅谈一下化归法。

2  化归思想

“化归”顾名思义,就是转化与归结的简称。其基本思路是:人们在解决数学问题时,常常将待解决的问题A,通过某种转化手段,归结为另一个问题B,而问题B是相对较易解决或已有固定解决程序的问题,且通过对问题B的解决可得到原问题A的解答。其框图直观表示为:

中学数学中化归法就是运用这一化归思想,将复杂、难以解决的问题转换为学生已知的、简单的问题。例如,爱迪生在计算梨状形灯泡的容积时,将灯泡注满水后倒入一个圆柱形量杯中,则水的体积就是不规则的梨状形灯泡的容积。这种想法的奇妙之处在于将求梨状形灯泡容积的难题转化为求与之等体积的水的体积的问题,这就是化归思想。

数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中,都有形或无形地存在着如下的结论链:


原始概念

推理工具

 



结论A

 



 



 



 



……

 



……

 



结论N

 



结论C

 



结论B

 


 

 

从中我们可以发现,在解决某一个具体问题时,不必都从原始概念和推理工具开始,而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。化归法正是利用这种原理来解决数学问题。在中学数学中,化归法的运用尤为突出。

3  化归法应遵循的原则

    为了更好把握化归的方向,有效实施化归去解决问题,化归不能盲目进行,一般应遵循以下几个原则:

3.1 简单化原则

    简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的、易于解决的问题,即复杂的、待解决的问题向简单的、较易解决的问题化归。中学数学受多年应试教育的影响,有些问题被复杂化了,而学生对于这类问题感到相当的头疼,所以通过化归,将问题转化为较简单的形式或结构,从而获得解决复杂问题的思路。这种方法往往更容易让学生接受。

例1  关于 实系数一元二次方程 + + =0( ) 的两虚根为 、 ,设 、 在负平面的对应点是 、 ,求以 、 为焦点且经过原点的椭圆的长轴长。

分析与简答: 这是一道涉及代数与解析几何的综合题,我们可以将这个复杂的问题转化为几个简单的问题:(1)方程的问题,因为 + + =0( ) 的两虚根为 、 ,所以△= ,即 且 , 、 为共轭复数。(2)复数问题,因为 、 共轭,所以| |=| |,| |=| | ,且有,| | | |,| | | |;(3)几何问题,由椭圆的定义知,长轴长为2 =| |+ | |=| |+ | |=2 。

3.2             具体化原则

    化归的具体化原则就是指化归的方向一般应由抽象到具体,即在分析问题和解决问题时,应着力于将问题向较具体的问题转化,以使其中的数量关系更易把握。新课程标准指出:数学教学应注重探索,问题应由抽象到具体。但绝不是只要让学生有直观感受,满足于具体现象,而忽视本质。对于较抽象的问题,可以让学生通过对具体的关系进行观察、比较、分析、归纳,从而找出解决问题的办法。

例2  求函数 = - 的最大值。

分析与简答:这是中学数学中常见的求函数的最值问题。这个函数f(x)结构复杂,无法用常规的方法来解答。我们用化归的思想,设法将问题具体化,由根式我们联想到距离,这样问题解决的关键就在于两个根式内被开方式能否转化为平方和的形式。通过拆凑,发现可以,即 = - 问题就转化为求点 ( , )到点 (3,2)与点 (0,1)距离之差的最大值(如下图所示)。由 , 的位置关系知直线 必交抛物线 于第二象限的位 ,由三角形两边之差小于第三边知,当点 在点 时, 能取到最大值,且最大值为| |,故 =| |= .                                                                                                                  

该问题运用“数形结合”的思想以及化归的思想使问题由抽象转化为具体,有利于问题的解决。

3.3 熟悉化原则

熟悉化原则就是把我们遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题,以便于利用已有的知识与经验,使问题得到解决,这就是所谓的通过“旧知”解决“新知” 。孔子所说的“温故而知新”就是这个道理。奥苏珀尔说过,影响学习的最重要的东西是学生已经知道的知识和内容。这就需要在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起了桥梁,通过桥梁便于把问题解决。

例4  求 的展开式中 的系数。

分析与简答:三项式展开是学生并不熟悉的内容,但是二项式展开式却是学生相当熟悉的,因而设法将原式转化为二项式: ,其通项展开公式为    ,又 的通项展开式为   ,故原式的通项为 ,要求 的系数,则 ,又 与 皆为非负整数,且 ,故 可取 4,3,2,相应的 可取0,1,2于是所求的展开式中 的系数为: .

3.4特殊化原则

所谓特殊化原则就是运用对特例的分析引出一般的情况,从而获得问题的解决思路。在中学数学中有许多“特殊”的情况,比如:点是圆的半径为零的特殊情况;切线是割线的特殊情况;圆是椭圆的特殊情况等。我们常说的从一般到特殊就是特殊化原理。

例5  两人轮流在一张圆桌上摆放围棋,游戏规则:每次每人只能摆放一个,不能重叠,在桌上放下最后一颗棋子者为游戏的胜利者。试问:先放者取胜,还是后放者取胜呢?

分析与解答:象这样的题目,从正面很难找出问题的解决方法,因而我们考虑它的特殊情形。假设桌子恰好与棋子一般大小,则先摆着获胜,只需要将围棋摆在桌子的中心即可。从特殊情形我们可以得到启示:先摆的人如果把第一颗棋子占据桌子的中心,由于圆桌是中心对称的,以后无论对方把棋子放于何处,若先摆的人总把围棋摆在与其成中心对称的位置上,先摆者必胜。

从上面对化归原则的分析中,我们可以发现,化归的原则是互相渗透,互相补充和互相联系的。在解决实际问题时,可以而且必须结合起来,才能更有效地实施化归。同时,在解题时,化归法总与演绎推理证明、运算推理等数学方法结合起来成为中考、高考必考内容之一,因此,在中学数学中,化归法的应用十分重要,它是一种重要的数学思想方法。

参考文献

[1]钱佩玲. 数学思想方法与中学数学[M]. 北京:北京师范大学出版社, 1997,7:17—23

[2]吴炯折, 林培榕. 数学思想方法[M]. 厦门:厦门大学出版社,  2001:126—288

[3]郭思乐. 思维与数学教学[M]. 北京:人民教育出版社,  1991:1—200

[4]张志淼. 数学学习与数学思想方法[M]. 郑州:郑州大学出版社,  2006,6:307—318

[5]中外数学史编写组.  中国数学简史[M]. 济南:山东教育出版社,  1886,8:185—186

[6]赵小云, 叶立军.  数学化归思想论[M]. 北京:科学出版社,    2005:1—230

[7]薛金星.  高考备考工具书[M]. 西安:陕西教育出版社,   2008,4:425—428

[8]姜东平, 李继彬.  数学趣题与妙解[M]. 北京:科学出版社,  2006.6:150

[9]刘婧.化归思想:高中函数问题解决的有效途径[J].数学与研究,2009,3 28卷:25—26

[10]何兴华. 数学中的一般化与特殊化例谈[J]. 数学通报, 2009, 48卷(2):30—32

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